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Eng. Onorio Francesco Salvatore

Diffusione delle tensioni nel terreno – parte IV: Westergaard vs. Boussinesq

Written By: Francesco Salvatore Onorio - Jul• 03•11

Dopo aver presentato la soluzione di Boussinesq, visto quali sono le assunzioni di base e dopo aver presentato la soluzione di Westergaard per ovviare al limite dell’unicità dello strato, adesso facciamo un confronto tra le due teorie. Abbiamo detto che Westergaard restituisce valori più aderenti alla realtà, sebbene Boussinesq venga talvolta preferito per essere più conservativo. In questo articolo facciamo un confronto numerico.

 

Nell’immagine che segue vediamo l’influenza della distanza orizzontale, r, dal punto di applicazione del carico. I dati sono i seguenti:

Q = 1000 kg;

z = -0.50 m;

v = 0.

Il grafico mostra quanto abbiamo detto più volte: Boussinesq è generalmente più conservativo in quanto si ottengono valori più elevati (ci si pone a vantaggio di sicurezza). Questo vale esattamente sotto il punto di applicazione del carico e fino ad una certa distanza da esso. Man mano che ci si allontana orizzontalmente, invece, le differenze diventano esigue fino a che non si ha eguaglianza tra le due soluzioni. Da tale punto in poi, Boussinesq comincia a restituire valori superiori rispetto a Westergaard.

Notiamo anche un’altra cosa: la campana ha una forma molto stretta, quindi in prossimità della superficie (stiamo a -0.50 m) gli effetti si attenuano molto velocemente man mano che ci allontaniamo.

 

Scendiamo ora di altri 1.5 m portandoci a quota -2.00. Gli altri dati sono gli stessi:

Q = 1000 kg;

z = -2.00 m;

v = 0.

A questa quota l’attenuazione è meno marcata rispetto al caso precedente: la campana tende ad appiattirsi.

 

Scendiamo ancora e portiamoci a quota -10 m. I dati sono i seguenti:

Q = 1000 kg;

z = -10.0 m;

v = 0.

Continua il trend già visto: l’attenuazione con la distanza orizzontale è quasi nulla.

 

Fino ad ora abbiamo visto i vari casi con un coefficiente di Poisson pari a zero (strati rigidi orizzontalmente), ma cosa accade se ammettiamo la deformabilità orizzontale? Cosa accade se assumiamo un coefficiente di Poisson pari a 0.4? Lo vediamo nell’immagine seguente, con i seguenti dati:

Q = 1000 kg;

z = -2.00 m;

v = 0.4.

Attenzione alle differenze: Westergaard diventa conservativo, restituendo valori molto più elevati di Boussinesq, ma con una rapida attenuazione man mano che ci allontaniamo dal centro di applicazione del carico.

 

 

A questo punto siamo curiosi di vedere quale sia l’influenza del coefficiente di Poisson sulle relazioni. Con i seguenti dati si ha:

Q = 1000 kg;

z = -2.00 m;

r = 0.00 m.

Notiamo come per un coefficiente di Poisson nullo (strati rigidi orizzontalmente), Boussinesq è più conservativo. All’aumentare del coefficiente, posta la costanza di Boussinesq (ricordiamo la relazione per il calcolo dell’incremento di tensione verticale), Westergaard assume man mano valori sempre più alti, fino a superare ampiamente quanto previsto da Boussinesq.

 

 

E se ci allontanassimo dal punto di applicazione ora? Lo so, comincia ad essere complicato controllare il tutto, ma è affascinante vedere le variazioni. Posti i seguenti dati abbiamo:

Q = 1000 kg;

z = -2.00 m;

r = 0.00 m.

A 5 metri di distanza in direzione orizzontale si inverte il tutto: è Westergaard a fornire valori superiori, ma mano mano che aumenta il coefficiente di Poisson ci avviciniamo a Boussinesq.

 

 

Adesso valutiamo l’influenza della profondità. Posti i seguenti dati, si ha:

Q = 1000 kg;

r = 0.00 m;

v = 0.00.

Ritroviamo quanto detto più e più volte: Boussinesq è più conservativo in quanto restituisce valori più elevati. Ma questo vale se ci mettiamo sulla verticale al punto di applicazione. Abbiamo visto che le cose possono cambiare se ci allontaniamo da essa (ovvero se r cresce). Vediamo proprio questo, ovvero ci mettiamo ad 1 metro di distanza dal punto di applicazione del carico.

Posti i seguenti dati:

Q = 1000 kg;

r = 1.00 m;

v = 0.00.

Come visto più volte, la situazione si ribalta allontanandoci. Adesso è Westergaard a fornire valori maggiori, sebbene poi, ad una certa profondità, si abbia l’intersezione con la curva di Boussinesq.

 

Quindi, possiamo concludere dicendo che sulla verticale al punto di applicazione del carico, ovvero per r=0, Boussinesq restituisce valori superiori, a distanze maggiori è vero il contrario. Vediamo ancora, mediante un altro tipo di grafico. Posti i seguenti dati si ha:

z = 2.0 m;

r = 0.00 m;

v = 0.00.

Sulla verticale al punto di applicazione del carico, a 2 metri di profondità, Boussinesq è sempre più conservativo e tende ad esserlo sempre di più man mano che il carico diviene elevato.

 

 

Allontaniamoci orizzontalmente e vediamo cosa succede. Posti i seguenti dati:

z = 2.0 m;

r = 3.00 m;

v = 0.00.

A 3 metri di distanza non è più vero che Boussinesq è più conservativo e, anzi, si hanno sostanzialmente gli stessi valori tra le due soluzioni.

 

 

Allontaniamoci ancora, anche se ormai sappiamo bene cosa aspettarci. Posti i seguenti dati, si ha:

z = 2.0 m;

r = 5.00 m;

v = 0.00.

Ecco quanto ci aspettavamo: Westergaard, se ci allontaniamo dalla verticale al punto di applicazione del carico, diventa più conservativo di Boussinesq. Il coefficiente di Poisson modifica i valori ottenuti, ma non incide su questo trend.

 

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E con questo è tutto. Per chiarimenti, segnalazioni ed altro è possibile contattare l’autore a:

onorio@strutturista.com

Ing. Onorio Francesco Salvatore

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