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Torsione uniforme e torsione non uniforme: differenze ed esempi

Written By: Francesco Salvatore Onorio - Apr• 17•11

Dopo aver parlato della differenza che vi è tra torsione primaria (o di equilibrio) e torsione secondaria (o di congruenza), in questo articolo vediamo la differenza tra torsione uniforme (o torsione alla De Saint Venant, cui è dedicata l’immagine di apertura) e torsione non uniforme.

Andiamo dritti al punto per focalizzare il problema. Diamo uno sguardo a queste due immagini:

Nella prima immagine si ha una trave soggetta a torsione uniforme.

Nella seconda immagine si ha una trave soggetta a torsione non uniforme.

 

Fate caso alle differenze, con riferimento anche a queste altre due immagini:

Ad entrambe le sezioni viene applicata una coppia torcente. Nel primo caso si hanno le estremità libere, nel secondo caso si ha un’estremità vincolata. Qual è la conseguenza di questi vincoli? Nel primo caso si ha che la sezione è libera di ingobbarsi, nel secondo caso no. E ancora: nel primo caso si ha una situazione vicina alla torsione pura, nel secondo caso si ha una condizione di torsione mista.

Nel primo caso possiamo parlare di torsione uniforme, nel secondo caso parliamo di torsione non uniforme.

Perché?

Basta notare come varia l’angolo di torsione. Nel primo caso l’angolo di torsione varia uniformemente lungo lo sviluppo della trave, nel secondo caso l’angolo di torsione varia in maniera non uniforme lungo lo sviluppo.

Per quale motivo l’angolo di torsione varia in maniera diversa?

Proprio perché nel primo caso l’ingobbamento è libero, mentre nel secondo caso vi è un vincolo, quindi interviene la rigidezza delle flange che si flettono nel loro piano (in direzione opposta).

 

Ma andiamo con calma adesso e facciamo un paio di passi indietro.

Cominciamo col vedere quando è che non si ha torsione: una sezione che viene caricata in maniera tale che la risultante delle forze passi attraverso il centro di taglio, sarà soggetta a sola flessione e nessuna sollecitazione torsionale sarà presente. Al contrario, se la risultante non passa per il centro di taglio, allora vi sarà flessione e torsione.

Quindi, la conoscenza del centro di taglio di una sezione riveste un ruolo fondamentale se vogliamo avere il controllo dello stato tensionale di una membratura.

Adesso prestiamo attenzione ad un altro concetto importante: le sezioni trasversali di una membratura possono rimanere piane sotto particolari condizioni di carico. Quando una trave è soggetta a flessione pura, le sezioni trasversali che originariamente erano piane prima di essere caricate, rimangono piane anche dopo l’applicazione del carico. In presenza di taglio questa affermazione non è più vera a rigore, ma può considerarsi vera con buona approssimazione.

 

Perché ho accennato alla planarità delle sezioni trasversali?

Perché, in generale, se una trave è soggetta ad un momento torsionale, l’assunzione di planarità delle sezioni trasversali non è più vera, né a rigore né con buona approssimazione.

Se escludiamo le sezioni circolari e le sezioni cave aventi spessore costante, tutte le altre sezioni saranno soggette all’ingobbamento in direzione assiale.


Cosa comporta l’ingobbamento?

L’ingobbamento comporta che la distribuzione delle tensioni viene alterata ed un calcolo basato sull’assunzione di planarità delle sezioni trasversali conduce a risultati errati.

Per capire meglio cosa accade alle sezioni trasversali, basta guardare come si deforma la trave riportata nell’immagine seguente:

Il reticolo aiuta a vedere come il bordo superiore si fletta nel piano xy in direzione opposta rispetto al bordo inferiore. Vediamo meglio:

Il comportamento è simile per le flange di una trave a “I” o a “H”. Per esse si ha l’instaurarsi di sollecitazioni flessionali nel piano stesso delle flange:

Procediamo gradualmente: vediamo come calcolare la rigidezza torsionale mantenendo valida l’assunzione di planarità delle sezioni trasversali. In questo caso – errato in generale – il calcolo procede in questo modo:

– si calcola il momento polare di inerzia Ip, ottenuto come somma dei momenti d’inerzia attorno agli assi principali, quindi: Ip = Ixx + Iyy ;

– si moltiplica il momento polare d’inerzia per il modulo di taglio G.

 

Quindi, ripetiamo: la rigidezza torsionale può essere calcolata come Ip x G solo nel caso di validità della conservazione delle sezioni piane; negli altri casi, l’ingobbamento e quindi la non planarità delle sezioni trasversali fanno in modo che tale calcolo non sia corretto. In particolare, quello che si ottiene è una sovrastima. Per le sezioni comuni il vero valore della rigidezza torsionale può essere stimato nell’ordine dell’1-2% del valore calcolato con il momento polare d’inerzia.

Quindi, una sezione generica caricata con risultante delle forze non passante per il centro di taglio sarà soggetta ad una sollecitazione torsionale che può essere suddivisa in due aliquote:

rotazione pura;

ingobbamento.

Per la prima aliquota è valida la teoria di De Saint Venant, per la seconda aliquota no. Per tale motivo distinguiamo tra:

torsione pura o torsione alla De Saint Venant;

torsione non uniforme o torsione alla Vlasov.

L’ingobbamento, quindi, non consente ad una sezione piana di rimanere piana dopo l’avvenuta rotazione. Questo fenomeno è predominante nelle sezioni a pareti sottili.

 

 

 

TORSIONE UNIFORME NELLE SEZIONI CIRCOLARI

Consideriamo una barra circolare di sezione costante soggetta a torsione, come mostrato nella figura che segue:

 

In questo caso, le sezioni trasversali sono piane prima di applicare il torcente e rimangono piane anche dopo l’applicazione; praticamente, non c’è ingobbamento.

Il torcente in questo caso è resistito unicamente dalle tensioni tangenziali circonferenziali causati dalla torsione alla De Saint Venant.

Per una sezione circolare la torsione alla De Saint Venant vale:

dove Ip, come visto, è il momento d’inerzia polare.

 

 


TORSIONE UNIFORME NELLE SEZIONI NON CIRCOLARI

La torsione uniforme la si ha solo nelle sezioni circolari e nelle sezioni cave a spessore costante? A rigore si, ma vi possono essere casi particolari.

Fino a che una sezione può ingobbarsi liberamente, allora il carico applicato viene ancora resistito da tensioni tangenziali simili a quelle che si hanno nelle sezioni circolari. Ed ecco quindi che torniamo al caso visto nelle prime figure. La sezione a doppia T libera di svergolare è tensionalmente simile alla sezione circolare ed alla sezione cava a spessore costante.

Nei casi suddetti, la torsione alla De Saint Venant può essere valutata mediante un’equazione simile a Ip x G, ma sostituendo il momento d’inerzia polare Ip con J, ovvero la costante torsionale. Si ha quindi:

 

L’angolo di torsione, che in questo caso varia uniformemente, vale:

dove:

T = torsione applicata;

z = coordinata lungo lo sviluppo della trave;

G = modulo di taglio;

J = costante torsionale.

 

Quanto vale la costante torsionale?

Nelle sezioni a spessore sottile costituite da porzioni rettangolari (come in una sezione a I o a H) la costante torsionale si può calcolare come:

 

In cui bi e ti sono rispettivamente lunghezza e spessore di ognuno degli elementi costituenti la sezione.

La distribuzione delle tensioni tangenziali nella sezione trasversale è raffigurata di seguito:

 

 

TORSIONE NON UNIFORME

Quando l’ingobbamento è impedito, la membratura è soggetta a torsione non uniforme. In questo caso, il vincolo all’ingobbamento causa la deformazione flessionale delle flange nel loro piano. A questa deformazione flessionale si accompagna una forza di taglio in ogni flangia.

 

La torsione totale non uniforme, Tn, è data quindi da:

Tn = Tsv + Tw

dove:

Tsv = torsione alla De Saint Venant;

Tw = torsione di ingobbamento.

 

Tw vale:

Tw = Vf x h

 

Dove Vf è la forza di taglio che si ha in ogni flangia. L’espressione di Vf è:

dove Mf è il momento flettente che si ha nelle flange. Quindi, dato che le flange si flettono in direzione opposta allora le forze di taglio sono dirette in maniera opposta e formano una coppia.

Tale coppia, che agisce per resistere il torcente applicato, prende il nome di torsione di ingobbamento.

Quanto vale il momento flettente che nasce nelle flange? Semplicemente:

 

dove:

If = momento di interzia della flangia attorno al suo asse forte;

u = spostamento laterale della linea media della flangia.

 

Lo spostamento u è dato da:

Se sostituiamo l’equazione dello spostamento u nell’equazione differenziale di Mf (teniamo presente che h/2 è una costante), si ha:

Sostituiamo adesso l’espressione ottenuta per Mf in questa espressione già vista:

Tw = Vf x h

 

ricordando che il taglio Vf è la derivata del momento Mf, otteniamo:

Il termine If h² / 2 prende il nome di costante di ingobbamento (Γ) per la sezione trasversale.

Si ottiene allora:

In cui, come detto, per una sezione a doppia T si ha:

Il termine è la rigidezza all’ingobbamento della sezione, grandezza analoga a GJ, che rappresentava la rigidezza torsionale alla De Saint Venant.

 

Il torcente, dunque, sarà resistito da una combinazione di:

– tensioni tangenziali alla De Saint Venant;

– torsione d’ingobbamento.

 

Infatti, la torsione non uniforme Tn per ogni sezione trasversale è data dalla somma della torsione alla De Saint Venant (Tsv) e torsione d’ingobbamento (Tw).

 

 

 

EFFETTO DELLA RIGIDEZZA TORSIONALE (GJ) E DELLA RIGIDEZZA ALL’INGOBBAMENTO (EΓ)

Quando la rigidezza torsionale (GJ) è molto grande rispetto alla rigidezza all’ingobbamento (EΓ) allora la sezione sarà effettivamente soggetta a torsione uniforme. Quindi:

GJ >> EΓ   =>   torsione uniforme

Esempi di sezioni in cui si ha questa condizione sono:

sezioni chiuse (come ad esempio quelle rettangolari o le scatolari quadre);

angolari;

sezioni a “T”.

 

 

Quando la rigidezza torsionale (GJ) è molto piccola rispetto alla rigidezza all’ingobbamento (EΓ) allora la sezione sarà soggetta alla torsione di ingobbamento. Quindi:

GJ << EΓ   =>   torsione di ingobbamento

Esempi di sezioni in cui si ha questa condizione sono quelle aperte a parete sottile.

 

 

Quando la rigidezza torsionale (GJ) è confrontabile con la rigidezza all’ingobbamento (EΓ) allora la sezione sarà soggetta torsione non uniforme. Quindi:

GJ ≈ EΓ   =>   torsione non uniforme

Esempi di sezioni in cui si ha questa condizione sono:

sezioni a I (ovvero ad “ali strette”, IPE) laminate a caldo;

sezioni a H (ovvero ad “ali larghe”, HE) laminate a caldo;

sezioni a C.

Il comportamento esibito è in questo caso intermedio tra i due estremi. In altre parole, la membratura sarà soggetta ad uno stato sollecitante di torsione non uniforme ed il carico sarà resistito da una combinazione di:

torsione uniforme (alla De Saint Venant) + torsione di ingobbamento

 

 

L’articolo sulla differenza tra torsione primaria e torsione secondaria, citato in apertura, può essere visualizzato al seguente link:

Torsione primaria e torsione secondaria: differenze ed esempi

 

Per chiarimenti, segnalazioni ed altro è possibile contattare l’autore a:

onorio@strutturista.com

Ing. Onorio Francesco Salvatore

 

Dopo aver parlato della differenza che vi è tra torsione primaria (o di equilibrio) e torsione secondaria (o di congruenza), in questo articolo vediamo la differenza tra torsione uniforme e torsione non uniforme.

Cominciamo col vedere quando è che non si ha torsione: una sezione che viene caricata in maniera tale che la risultante delle forze passi attraverso il centro di taglio, sarà soggetta a sola flessione e nessuna sollecitazione torsionale sarà presente. Al contrario, se la risultante non passa per il centro di taglio, allora vi sarà flessione e torsione.

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3 Comments


  1. […] – Torsione uniforme e torsione non uniforme: differenze ed esempi; […]

  2. Alex says:

    Ma in una sezione in acciaio a parete sottile, per la precisione uno scatolare rettangolare a spessore costante come lo determino il momento torcente resistente della sezione trasversale!? posso usare la relazione del De Saint Venant che lega il torcente alla rotazione angolare ed all’inerzia torsionale della sezione!?

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