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Eng. Onorio Francesco Salvatore

Approssimazioni nel calcolo della deformazione tagliante degli isolatori elastomerici

Written By: Francesco Salvatore Onorio - Nov• 20•10

Questo articolo va a continuare un discorso già iniziato da un po’ ed incentrato sul tema dell’isolamento sismico e comportamento degli isolatori. Per chi voglia dare uno sguardo agli articoli precedenti basta cliccare sulla categoria “Sismica e dinamica delle strutture” oppure ricercare “isolatori sismici” usando il tasto in alto a destra del sito.

Quello che mi preme sottolineare è che sarà accolto con favore qualsiasi tipo di osservazione, essendo questo argomento  sviluppato dal sottoscritto.

Ricordiamo che negli articoli precedenti si è visto che il calcolo della deformazione tagliante totale si ottiene in questo modo (per la precisione: “Domini di stabilità e resistenza per isolatori sismici elastomerici: il calcolo della pressione ammissibile in accordo con il DM 2008“):

Ovvero:

Non vi sono dubbi sul calcolo dell’aliquota di deformazione tagliante dovuta allo spostamento laterale, così come si può considerare trascurabile l’aliquota dovuta alla rotazione angolare (tra l’altro oggi le piastre di estremità si progettano vincolate a rimanere parallele per evitare problemi di roll-out).

L’aliquota sulla quale ci si vuole soffermare è la seguente:

A cosa è dovuta questa espressione? Come al solito il riferimento principale da cui attingere è la teoria di Kelly ed altri Autori.

Le soluzione della Pressure Solution conduce a:

La tensione tangenziale massima la si ha in corrispondenza della sommità e della base dell’elastomero. Queste relazioni conducono a: [1]

Dove ec è la deformazione dovuta al carico verticale:

avendo fatto dipendere l’abbassamento dai soli strati di elastomero.

Questa deformazione è esprimibile anche come:

Sostituendo nella relazione principale si ha:

Sorge a questo punto il problema della scelta di E: quale usare? Nel paragrafo precedente si è visto come siano diverse relazioni in funzione della configurazione geometrica dell’isolatore. Ricordiamo le relazioni precedenti, scegliendo quelle più idonee:

Se ci si riferisce al caso di incompressibilità della gomma si ha:

Sostituendo i termini si ha:

Semplificando:

Ricordando che nel caso di grandi spostamenti bisogna sostituire l’area ridotta all’area totale:

Questa relazione è molto simile a quella impiegata dalle norme italiane, la quale si esprime come:

Praticamente le norme italiane fanno riferimento alla relazione con incompressibilità della gomma ed incrementano la deformazione del 50%. Ci si chiede: questo modo di procedere è a vantaggio o svantaggio di sicurezza? E’ possibile verificarlo andando ad inserire la compressibilità della gomma:

Ovvero:

Si confronta adesso la relazione esatta, con comportamento compressibile della gomma, con la relazione della normativa che tiene conto della compressibilità tramite il solo moltiplicare per 1.5:

dove con Kelly,1 si è indicata la relazione esatta per fattori di forma primari bassi.

Sostituendo si ha:

Ovvero:

Sostituendo la relazione per il calcolo del modulo di compressibilità:

Si perviene a:

Questo è un valore limite che funziona in questo modo: per valori superiori ad esso la relazione della normativa non è a vantaggio di sicurezza, mentre per valori inferiori, quindi per fattori di forma primari bassi, la relazione funziona bene e moltiplicare semplicemente per 1.5 è a vantaggio di sicurezza.

ESEMPIO 1:

K = Eb = 2000 MPa (valore tipico, suggerito anche dalle norme);

G = 0.40 MPa (mescola morbida).

Si ha:

Ovvero, per valori del fattore di forma primario inferiori a 12.5 le norme sono a vantaggio di sicurezza in quanto sovrastimano le deformazioni taglianti, per valori inferiori sono a svantaggio di sicurezza. In questo caso moltiplicare per 1.5 non risulta propriamente corretto.

ESEMPIO 2:

K = Eb = 2000 MPa;

G = 0.80 MPa (mescola morbida).

Si ha:

Vale lo stesso discorso di prima ma per fattori di forma primari pari a 12.5.

ESEMPIO 3:

K = Eb = 2000 MPa;

G = 1.20 MPa (mescola dura).

Si ha:

Vale lo stesso discorso di prima ma per fattori di forma primari pari a 10.2.

La relazione individuata vale però nel caso di fattori di forma primari bassi. Nel caso di fattori di forma prima alti, la relazione da applicare è diversa, come visto; bisogna però tenere presente che per i casi pratici la relazione impiegata va più che bene, essendo gli S1 alti cui si fa riferimento intorno a 70. [2]

Altro particolare cui bisogna prestare attenzione: in tutto questo discorso ci si è riferiti ad un valore della deformazione tagliante dovuta alla compressione che è un valore massimo; tale valore si attinge ai bordi e la sua espressione è stata ricavata dall’applicazione della Pressure Solution.

Il valore medio lo si può ricavare riferendosi all’energia elastica totale, U, posseduta dall’elastomero: [3]

Da cui si ricava:

Nel caso di incompressibilità della gomma:

Rispetto alla relazione della normativa:

Se ci si riferisce alle deformazioni taglianti medie anziché quelle massime, la normativa incrementa le deformazioni di 3.7 volte.

Se si considera la compressibilità della gomma la relazione diventa:

Si ripete ora la verifica di validità della normativa facendo riferimento alla deformazione tagliante media anziché quella massima:

dove con Kelly,1 si è indicata la relazione esatta per fattori di forma primari bassi.

Sostituendo si ha:

Ovvero:

Sostituendo la relazione del modulo di compressibilità:

Si perviene a:

Gli esempi che seguono fungono da test di validità per la relazione:

ESEMPIO 1:

K = Eb = 2000 MPa (valore tipico, suggerito anche dalle norme);

G = 0.40 MPa (mescola morbida).

Si ha:

Ovvero, per valori del fattore di forma primario inferiori a 40.9 le norme sono a vantaggio di sicurezza in quanto sovrastimano le deformazioni taglianti, per valori inferiori sono a svantaggio di sicurezza.

ESEMPIO 2:

K = Eb = 2000 MPa;

G = 0.80 MPa (mescola morbida).

Si ha:

Vale lo stesso discorso di prima ma per fattori di forma primari pari a 28.9.

ESEMPIO 3:

K = Eb = 2000 MPa;

G = 1.20 MPa (mescola dura).

Si ha:

Vale lo stesso discorso di prima ma per fattori di forma primari pari a 23.6.

Riferendosi alla deformazione media, anziché quella massima, le relazioni della normativa appaiono sempre a vantaggio di sicurezza nel campo degli isolatori comunemente impiegati nella pratica progettuale.

Ricapitolando, la relazione della normativa è la seguente:

Quella della teoria di riferimento con comportamento incompressibile della gomma per deformazioni tangenziali massime è:

rispetto a questa relazione la normativa aggiunge la compressibilità della gomma moltiplicando per 1.5.

La relazione esatta che tiene conto anche della compressibilità è la seguente:

La validità della relazione della normativa dipende dal fattore di forma primario, il cui valore limite è dato da:

Nel caso di deformazioni tangenziali medie la relazione indicata è:

Nel caso di comportamento incompressibile della gomma:

Nel caso di compressibilità della gomma:

E con questo chiudo l’articolo. Di seguito trovate alcuni dei riferimenti bibliografici richiamati nel testo.


[1] Kelly J. M., 1996, “Earthquake-Resistant Design with Rubber”, Spinger, seconda edizione.

[2] Naeim F., Kelly J. M., 1999, “Design of Seismic Isolated Structures: From Theory to Practice”. John Wiley & Sons, Inc.

[3] Kelly J. M., 1996, “Earthquake-Resistant Design with Rubber”, Spinger, seconda edizione.




Si ricorda che questo argomento fa parte di una sorta di “collana” di articoli sviluppata dal sottoscritto per indagare sul meraviglioso mondo degli isolatori sismici e le approssimazioni attualmente presenti nelle metodologie di calcolo, ivi inclusi i dettami delle normative.

L’argomento, data la complessità, può riservare insidie, quindi invito chiunque voglia chiarimenti oppure segnalare errori ed altro a contattarmi al seguente indirizzo:

onorio@strutturista.com

Ing. Onorio Francesco Salvatore


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