The Structural Engineer's Corner

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I "tormentoni della normativa": Stato Limite di Danno più gravoso dello Stato Limite Ultimo?

Written By: Francesco Salvatore Onorio - Oct• 25•08

In questo articolo parliamo di uno degli argomenti che può tranquillamente essere classificato come facente parte dei cosiddetti “tormentoni della normativa“, ovvero l’apparente irrazionalità che si ha nella determinazione delle azioni agenti allo Stato Limite Ultimo ed allo Stato Limite di Danno; possibile che le forze calcolate nel secondo caso siano più gravose di quelle calcolate allo SLU? In realtà tutto ruota attorno al fattore di struttura di progetto q.

Sostanzialmente, una struttura a comportamento anelastico può essere studiata facendo riferimento ad un sistema equivalente a 1-GDL, considerando quindi eguaglianza di spostamento massimo, stessa rigidezza elastica ed una forza massima pari proprio all’azione sismica,

Vediamo un esempio per chiarire le idee; immaginiamo di avere un edificio a controventi eccentrici, EBF (Eccentrically Braced Frames) e di voler individuare ed applicare le azioni sismiche sulla struttura. Sia l’edificio di 6 piani a più campate e di volerlo progettare in classe di duttilità alta. Seguendo l’Ordinanza (OPCM 3274) si individua un fattore di struttura pari a:

5 αu / α1

Assumendo che il moltiplicatore delle forze nella condizione di collasso, rapportato al moltiplicatore delle forze nella condizione di prima plasticizzazione sia pari a 1.2 per il caso in esame (come suggerito dalla normativa) si ottiene:

q0 = 5 x 1.2 = 6

Questo valore lo dobbiamo correggere mediante due coefficienti – Kd e Kr – per tener conto del maggiore o minore rispetto delle regole della gerarchia delle resistenze, ovvero CDA o CDB, e della regolarità della struttura, dato che su strutture regolari si ha una distribuzione di cerniere plastiche che avviene in maniera quasi contemporanea ed uniforme su tutte le membrature, al contrario degli edifici irregolari.

Possiamo così ottenere il fattore di struttura di progetto, che nel nostro caso vale:

q = q0 x Kd x Kr = 6 x 1 x 1 = 6

Quello che abbiamo calcolato è un coefficiente che ci offre la normativa per semplificare la progettazione; in sostanza, la normativa ci permette di eseguire un’analisi elastica e di non addentrarci in campo plastico, ma progettare una struttura affinché non abbia plasticizzazioni anche per un terremoto con periodo di ritorno di 475 anni (sisma allo SLU) sarebbe fortemente antieconomico. Quello che andrebbe fatto, dunque, è un’analisi in campo plastico, limite (individuando un moltiplicatore di collasso mediante teorema statico e cinematico) o incrementale (anche chiamata “Pushover”, “spingi oltre”, ovvero che segua “al passo” il comportamento della struttura). Ecco che intervengono le norme: se vogliamo rimanere in campo elastico, ed evitare analisi limite o incrementali, dobbiamo progettare la struttura per delle forze ridotte, affidando alle capacità dissipative (stimate e non calcolate) la restante parte dell’azione. Le capacità dissipative sono tutte racchiuse in quel fattore di struttura che abbiamo calcolato per il nostro esempio; quanto più si hanno capacità dissipative, quindi oltre il limite elastico, tanto più possiamo ridurre le forze di progetto.

Ma dove interviene q nei nostri calcoli? Sulle azioni del sisma, come detto, che vengono valutate andando a definire degli spettri; ovvero, anziché fare riferimento a specifici accelerogrammi, la normativa suggerisce di riferci ad una forma spettrale che sia indipendente dal grado di sismicità e che si ottiene impiegando uno Spettro di Risposta Elastico; tale spettro mostra le massime accelerazioni (o spostamenti) al variare del periodo (e quindi al variare del tipo di struttura). Quello a cui facciamo riferimento, in pratica, è un inviluppo. La particolarizzazione del diagramma di inviluppo al nostro specifico caso avviene mediante due cofficienti: ag (dipendente dalla zona sismica) e S (dipendente dal tipo si suolo).

Ecco che ci ricolleghiamo a quanto detto prima: se vogliamo fare un’analisi completa, non limitata al campo elastico, sono queste le azioni da considerare; in questo caso lo Spettro di Risposta Elastico coincide con lo Spettro di Risposta di Progetto allo Stato Limite Ultimo.

Cosa fare se vogliamo limitarci ad un’analisi elastica? Dobbiamo considerare delle azioni più basse. In che modo? Mediante il fattore di struttura di progetto. Le azioni così calcolate permettono di dimensionare la struttura con analisi più semplici, facendo affidamento alle capacità dissipative per la restante aliquota dell’azione sismica (e di “fiducia” trattasi, dato che tali capacità dissipative sono solo stimate, individuate a monte sui dettami della normativa; con una Pushover possiamo valutarle con precisione).

Procediamo con i nostri calcoli di esempio; ecco lo spettro elastico per l’edificio supposto essere in zona sismica 1 con suolo di tipo D:

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Mentre questo è lo spettro di progetto allo SLU avendo decurtato le azioni di 6 volte:

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Ecco che arriviamo al nocciolo della questione: lo Spettro di Risposta di Progetto allo SLU si ottiene dallo Spettro di Risposta Elastico decurtato di q, mentre lo Spettro di Risposta di Progetto allo SLD si ottiene dallo Spettro di Risposta Elastico decurtato di una quantità fissa e pari a 2.5. Quindi abbiamo:

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Se adesso li andiamo a considerare tutti insieme notiamo qualcosa di apparentemente strano:

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Tranne che in un primo tratto iniziale, sia ha sempre che le azioni calcolate allo SLU sono inferiori a quelle per lo SLD. Ma uno stato limite ultimo è riferito alla condizione di collasso, mentre uno stato limite di danno è uno stato limite di esercizio con danni di tipo irreversibile; come è possibile che si abbia quanto mostrato in figura? Se consideriamo i seguenti pesi sismici:

  • W6 = 3 000 kN;
  • W5 = W4 = W3 = W2 = W1 = 3 500 kN

otteniamo allo SLU un tagliante alla base pari a circa 4 500 kN, mentre allo SLD saliamo a quasi 11 000 kN (moltiplichiamo per q e decurtiamo di 2.5).

Allo SLD superiamo la condizione di collasso? No, in realtà la normativa, seppure con un procedimento che può facilmente generare dubbi, segue un filo logico; le verifiche, infatti, sono diverse: allo SLU si guardano le resistenze, mentre allo SLD si valutano gli spostamenti. Questi spostamenti sono riferiti ad una condizione che precede quella di collasso, perché i reali spostamenti ultimi della struttura nella condizione di collasso vanno calcolati con riferimento non allo Spettro di Progetto allo SLU, ma bensì allo Spettro di Risposta Elastico! E’ quest’ultimo che rappresenta il sisma reale, quello definito con lo spettro di progetto è solo un’azione minore tale che faccia rimanere sempre in campo elastico la struttura. Ora, dato che allo SLD si ammettono danni all’edificio (non lievi, permanenti, ma che non compromettono la resistenza e la rigidezza) è addirittura ovvio che si debba uscire dal campo elastico, altrimenti nessun danno permanente sarebbe possibile. Finché si rimane in tale campo, quindi entro i limiti dello SLU, nessun danno è permanente (per la definizione stessa di elasticità).

Quindi:

  • resistenza -> Spettro di Risposta allo SLU;
  • spostamenti nella configurazione danneggiata -> Spettro di Risposta allo SLD;
  • spostamenti nella configurazione di collasso -> Spettro di Risposta Elastico.

Possiamo chiarire ulteriormente le idee pensando ad una struttura di tipo non dissipativa: in questo caso il fattore di struttura è pari a 1, non potendo fare affidamento su escursioni in campo plastico; di conseguenza lo Spettro di Risposta Elastico coincide con lo Spettro di Progetto allo SLU, ovvero:

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In questo caso le azioni calcolate allo SLD sono effettivamente inferiori a quelle calcolate allo SLU, questo perché la condizione di collasso coincide con la frontiera del campo elastico. Come detto, è il fattore di struttura a rendere le verifiche non confrontabili.

Il procedimento, quindi, può generare dubbi di primo acchito ma se ci pensiamo bene c’è una logica ed è anche buona (le zone d’ombra della normativa sono altre…).

E con questo abbiamo finito, con la speranza di aver fatto un pò di luce su alcuni argomenti che possono destare qualche perplessità negli studenti alle prime armi, che si addentrano nello splendido settore dell’ingegneria strutturale. Se non siamo stati chiari in alcuni punti o permangono dubbi lasciate pure un commento. Alla prossima!

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9 Comments

  1. Francesco Durante says:

    Tutto molto chiaro. Ma vorrei aggiungere qualcosa. Io direi che lo spettro di progetto SLU è più basso di quello SLD non tanto per aiutare il progettista. Il fatto di dover rimanere nel campo lineare elastico è dettato proprio dalla esigenza di ottenere duttilità nel rispetto della gerarchia delle resistenze. Per avere duttilità si deve fare in modo che cedano prima gli elementi individuati (in fase di pianificazione del comportamento) come dissipativi e poi gli altri. Come si fa per ottenere ciò? Si deve fare in modo che l’elemento dissipativo superi il proprio limite elastico prima degli altri. Ma quando sta per superarlo è ancora in campo elastico. E quindi ho bisogno delle sollecitazioni in campo elastico per dimensionarne la resistenza a quel livello. Quindi una volta effettuata l’analisi elastica procedo al dimensionamento della resistenza con la sollecitazione raggiunta nel campo elastico. Poi dimensiono gli elementi non duttili con una resistenza superiore a quella ormai adottata per quelli fragili.
    Per quanto riguarda la raggiunta capacità dissipativa oltre alla fiducia che il progettista può riporre nelle prescrizioni dei paticolari e nella loro esecuzione, la normativa ci propone anche l’analisi elastica non lineare (pushover) che permette di verificare l’ipotesi progettuale e di addivenire al preciso livello di duttilità raggiunto.
    Inoltre su questo punto la normativa indica di poter calcolare la duttilità raggiunta e a tal riguardo indica la formula 7.4.1.

  2. Ranieri Velini says:

    Devo dire che l’articolo è molto interessante e chiarificatorio. Mi resta un dubbio.
    Se non ho capito male, dal ragionamento fatto sin qui, quando dobbiamo studiare gli spostamenti massimi per calcolare ad esempio un giunto sarebbe giusto fare riferimento allo spettro di risposta elastico allo stato limite di danno.
    Perchè allora la NTC ai punti 7.2.2 e 7.3.3.3 ci dice di valutare gli spostamenti della struttura sotto l’azione sismica di progetto allo SLV e per la quale si hanno, per i ragionamenti fatti nell’articolo, spostamenti minori?
    Nell’attesa di un vostro riscontro ringrazio anticipatamente.

  3. Giacomo says:

    Ciao, è un argomento effettivamente che disorienta al primo impatto. Io credo che si possa dire che lo spettro SLV con fattore di struttura sia uno spettro ‘fittizio’ per riportarsi al calcolo elastrico con un artificio tenendo conto dei fenomeni plastici che possono ingenerarsi nella struttura.. con poi tutte le problematiche relative alla gerarchia delle resistenze che ne conseguono. Altrimenti non si potrebbe ricorrere alle analisi lineari e bisognerebbe fare sempre analisi di pushover per le quali molti hanno delle perplessità.

    Successivamente, in effetti può capitare che le sollecitazioni allo SLV per fattori di struttura alti possano essere inferiori a quelle dello SLD, per le quali la struttura si presume debba rimanere in campo elastico.. non a caso al 7.3.7.1 le NTC prevedono che per edifici in classe III e IV siano svolte verifiche in termini di resistenza anche allo SLD. Per gli edifici ordinari, invece, si presume che le limitazioni intermini di spostamenti relativi e assoluti siano già di persè in grado di garantire il non superamento del limite elastico al SLD.. a chi non capita, con una struttura con q alto, di controllare prima gli spostamenti relativi piuttosto che le sollecitazioni SLV per non trovarsi come succede spesso che a verifiche ultimate non tornano i limiti di spostamento?

    Terza è pur vero che lo spostamento viene valutato per il sisma SLV però lo spostamento elastico così ottenuto va moltiplicato per un fattore che contiene il fattore di struttura e lo amplifica per periodi inferiori a T1, di fatto, quindi, riportandosi all’SLV elastico e amplificando gli spostamenti così ottenuti ulteriormente per tenere in considerazione il fatto che la struttura è plasticizzata almeno in parte e che quindi si suoi spostamenti sono superiori anche a quelli del sisma elastico.

    Ciao

    G.

  4. nicola says:

    Non mi è chiaro un punto.
    Nella vecchia ordinanza lo spettro sld si calcolava partendo da quello elastico di riferimento ridotto di 2.5.
    Con le ntc 08 per l’sld viene dato direttamente un valore che corrisponde ad un evento sismico con periodo di ritorno minore a quello slv.
    Quindi non è che si parte dallo stesso spettro elastico ridotto per sld di 2.5 e slv di q.
    Quindi questo ragionamento per le ntc08 non è più valido. O sbaglio?


  5. la situazione è “formalmente” la stessa della vecchia normativa se il confronto è fatto con l’EC8 , un poco diversa se fatto con le NTC e cioè :
    Lo spettro di risposta elastico in spostamento delle componenti orizzontali SDe(T) si ricava dalla corrispondente risposta in accelerazione Se(T) mediante la seguente espressione: SDe(T) = Se(T) . [T/2.pigreco]^2
    in accordo con EC8 dove si raccomanda che T sia limitato a 4 sec.
    per T = 4 sec SDe(T) = Se(T)/2,5
    L’O.P.C.M 3274 stabiliva che :”Se non si esegue una puntuale valutazione dell’azione sismica corrispondente alla probabilità di superamento di cui al punto 2.2, lo spettro di progetto da adottare per la limitazione dei danni può essere ottenuto riducendo lo spettro elastico di cui al punto 3.2.3 secondo un fattore pari a 2,5″.
    Per le NTC il limite di T è dato in funzione della categoria del sottosuolo e varia da 4,5 sec (cat. A) a 6 sec (cat C,D,E) ma consente anche un valore limite di 10 sec oppure ancora maggiore modificando lo spettro di progetto.
    Quindi lo spettro elastico di accelerazione orizzontale Se(T) è ridotto di un fattore variabile da 2 a 1. Ciò sembra in contrasto con quanto la norma NTC dice al punto 3.2.3.2 ” Gli spettri così definiti (di accelerazione elastica Se(T)) possono essere utilizzati per strutture con periodo fondamentale minore o uguale a 4,0 s. Per strutture con periodi fondamentali superiori lo spettro deve essere definito da apposite analisi ovvero l’azione sismica deve essere descritta mediante accelerogrammi”.
    Per gli stati limite di esercizio lo spettro di progetto Sd(T) da utilizzare, sia per le componenti orizzontali che per la componente verticale, è lo spettro elastico corrispondente (SLO , SLD) ottenuto come sopra specificato, riferito alla probabilità di superamento nel periodo di riferimento PVR considerata (in accordo con l’EC8).
    Per gli stati limite ultimi lo spettro di progetto Sd(T) da utilizzare, sia per le componenti orizzontali, sia per la componente verticale, è lo spettro elastico corrispondente (SLV , SLC) riferito alla probabilità di superamento nel periodo di riferimento PVR considerato con le ordinate ridotte sostituendo nelle formule η con 1/q , dove q è il fattore di struttura.
    q = qo . Kr (Kr = fattore di regolarità della costruzione = 1 o 0,8).
    In pratica gli spettri per lo SLS si ottengono dagli spettri elastici per lo SLU dividendo il fattore Fo [che quantifica l’amplificazione spettrale massima, su sito di riferimento rigido orizzontale con valore minimo pari a 2,2 (secondo EC8 valore unico pari a 2,5)] per un valore variabile da 2 a 1 per NTC e per un valore massimo 2,5 per EC8.
    E’ evidente che lo spettro di progetto per lo SLU si ottiene riducendo lo spettro elastico del fattore q mentre lo spettro per lo SLS è conseguenza della riduzione dello spettro elastico di accelerazione del terreno (dato direttamente dalla norma italiana) ma è anche vero che per valori di q > 2,5 (o 2 per NTC) lo spettro di progetto per le azioni sismiche orizzontali è minore dello spettro di progetto per gli spostamenti orizzontali; sono le finalità che dettano le regole ….il primo spettro determina la resistenza della struttura alle azioni sismiche il secondo i limiti di deformazione globale e locale.


    • per maggior chiarimento sull’ultima frase da me scritta ovvero che lo spettro di progetto per le azioni orizzontali risulti minore dello spettro di progetto per gli spostamenti è vero in generale con riferimento al rapporto Sd(T)/ag (pur tenendo conto della variabilità dei fattori T*c e Fo) essendo ag l’accelerazione del terreno per lo stato limite considerato ; poichè ag per lo SLU è maggiore di ag per lo SLS (NTC 2008) la condizione sopra detta risulta ancora vera per più alti valori del fattore q (>4). Si riporta il seguente esempio :
      sito dell’opera : Comune di Como
      classe dell’opera 2 – opera ordinaria con vita nominale >= 50 anni
      classe d’uso IV – edificio di servizio ospedaliero di rilevante importanza

      parametri di spettro per lo SLU – stato limite di collasso (SLC) :
      accellerazione orizzontale del suolo : ag = 0,5592 m/sec2
      amplificazione massima dello spettro di progetto : Fo = 2,675 per terreno di tipo A
      periodo di inizio del tratto a velocità costante : T*C = 0,32 sec
      periodo di ritorno : Tr = 1950 anni
      categoria di sottosuolo : tipo A
      periodo di inizio del tratto a velocità costante : Tc = Cc . T*c
      coefficiente di sottosuolo : Cc = 1
      Tc = 0,32 sec
      TB = Tc / 3 = TB = 0,1067 sec
      TD = 4 . ag / g + 1,6 = TD = 1,828 sec
      il valore calcolato di T1 è maggiore di TC :
      a tale situazione corrisponde il seguente valore dell’accellerazione spettrale di progetto :
      Sd(Ti) = ag . (Ss . St) . Fo . (Tc / T1) / q = 0,3141 >= 0,2 . ag

      essendo : fattore di struttura : q = kR . q0
      kR : fattore di regolarità della costruzione : 0,8 costruzione irregolare
      q0 = 4 per telai misti a portale e/o con controv. conc. e a bassa duttilità
      q = kR . q0 = 3,2

      parametri di spettro per lo SLS – stato limite di danno (SLD) :
      accellerazione orizzontale del suolo : ag = 0,2551 m/sec2
      amplificazione massima dello spettro di progetto : Fo = 2,622 per terreno di tipo A
      periodo di inizio del tratto a velocità costante : T*c = 0,2 sec
      periodo di ritorno : Tr = 101 anni
      categoria di sottosuolo : tipo A
      periodo di inizio del tratto a velocità costante : Tc = Cc . T*c
      coefficiente di sottosuolo : Cc = 1
      Tc = 0,2 sec
      TB = Tc / 3 = TB = 0,0667 sec
      TD = 4 . ag / g + 1,6 = TD = 1,704 sec
      il valore calcolato di T1 è maggiore di TC :
      a tale situazione corrisponde il seguente valore dell’accellerazione spettrale di progetto :
      Sd(T1) = ag . (Ss . St) . Fo . (Tc / T1) = 0,2809

      se solo considerassimo la struttura regolare in pianta ed elevazione con q = 4 l’accelerazione spettrale di progetto per le azioni orizzontali diventerebbe
      Sd(Ti) = ag . (Ss . St) . Fo . (Tc / T1) / q = 0,2513 < 0,2809

  6. Matteo says:

    Sebbene con qualche difficoltà, sto piano piano convincendomi della differenza di verifiche che vengono effettuate tra SLD e SLU. Rimane tuttavia qualche dubbio. Cerco di esprimerlo nel modo più chiaro possibile.
    In qualche modo il fattore di struttura definisce il limite elastico dell’opera, cioè il massimo valore dell’azione sismica oltre il quale la struttura attiva le sue risorse plastiche.
    Facendo riferimento all’NTC2008, lo SLO è lo stato limite per cui a seguito del terremoto la costruzione nel suo complesso, includendo gli elementi strutturali, quelli non strutturali, le apparecchiature rilevanti alla sua funzione, non deve subire danni ed interruzioni d’uso significativi.
    Dunque come è possibile che non vi siano danni e interruzioni dei servizi quando lo spettro all’SLO è più “grande” dello spettro SLV?
    In altre parole come è possibile che non vi siano danni se l’azione dovuta allo spettro SLO è maggiore del limite elastico stabilito dal fattore si struttura?

    Ciao. Matteo


    • proprio per il motivo che l’accelerazione spettrale per lo SLS (operatività o danno che sia) risulta maggiore dell’accelerazione spettrale per lo SLU implica un’azione sismica globale maggiore sulla struttura e quindi maggiori deformazioni che però devono essere limitate dai valori imposti dalla norma o dalla specifica di contratto. Dalla parte della resistenza (SLU) , un’accelerazione spettrale delle azioni sismiche minore implica l’utilizzo di un fattore di struttura q molto alto e quindi con tendenza a ridurre le sezioni (inerzie) a discapito della maggiore deformabilità ma con il rispetto della gerarchia delle resistenze. I due spettri producono effetti che vanno commisurati alle limitazioni relative ovvero : deformazioni per lo spettro SLS e resistenza per lo spettro SLU anche se non è esclusa una verifica di resistenza anche in base allo spettro SLD “…..per non compromettere significativamente la capacità di resistenza e di rigidezza nei confronti delle azioni verticali ed orizzontali…..”

  7. Giulia says:

    Salve a tutti, scrivo in questa discussione perchè anche io ho dei quesiti a riguardo.
    Dall’analisi della risposta dinamica al terremoto, so che le strutture flessibili deamplificano il moto del suolo e infatti per strutture metalliche con tamponamenti si considera il coefficiente di smorzamento pari a 0.01 (quest ultimo invece è maggiore per strutture in muratura ad esempio). Infatti il diagramma dello spettro di risposta del terremoto (diagramma del modulo dell’accelerazione ASSOLUTA della massa strutturale in funzione del periodo e del coeff di smorzamento ) risulta abbassarsi per coeff di smorzamento più piccoli, cosa che mi pare ragionevole in quanto per una torre faro ad esempio le sollecitazioni date dalla forza equivalente dovuta al sisma sono minori di quelle date invece dall’azione del vento. invece per un telaio shear type il problema è opposto.
    Questo in generale immagino.
    In base alle verifiche sismiche ai diversi stati limite e a latidudine,longitudine,categoria del sottosuolo e topografia del sito si ragiona sullo spettro di risposta elastico dal quale posso studiare quelli di progetto in base a quanto avete detto sopra. Lo spettro di risposta elastico coincide con quello di progetto per le verifiche sismiche agli STATI LIMITE DI ESERCIZIO, e allora come è possibile che in questo il fattore di alterazione dello spettro η sia = alla radice dell’inverso dello smorzamento senza essere in disaccordo con il ragionamento di prima? Strutture flessibili hanno valori di spettro più grandi secondo questo ragionamento?
    Grazie!
    Giulia

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